Metode Numerik. Solusi SPL "Metode Lelaran Jacobi"
METODE LELARAN JACOBI
Metode Jacobi merupakan salah satu metode/cara
untuk menyelesaikan solusi sistem persamaan linear. Metode Jacobi adalah metode
konvergen. Sehingga setiap persamaan harus diubah sedemikian hingga
koefisien-koefisien nilai mutlaknya paling besar satu, yaitu
Metode
Jacobi merupakan salah satu metode yang baik dalam mencari Solusi Sistem
Persamaan Linear. Metode Jacobi dapat meminimumkan efek kesalahan pembulatan.
A.
Solusi
Sistem Persamaan Linear
Sebuah
garis di dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh sebuah persamaan
yang berbentuk a1x + a2y = b. Sebuah persamaan semacam ini
dinamakan
persamaan linear dalam variabel x dan variabel y. Secara lebih umum, maka kita
mendefinisikan
sebuah persamaan linear dalam n variabel
x1, x2, ….. xn sebagai sebuah
persamaan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk: a1x1
+ a2x2 + ….. + an xn
= b.
dimana a dan b adalah konstanta-konstanta riil.
Sebuah
pemecahan (solution) persamaan linear a1 x1 + a2
x2 ….. an xn = b adalah sebuah urutan dari n
bilangan s1, s2, s3, ….. sn,
sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan x1 =
s1, x2 = s2, … xn = sn.
Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahan (it’s
solution set).
Himpunan
berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam variabel-variabel x1,
x2, x3, ….. xn dinamakan sebuah Sistem
Persamaan Linear atau sebuah Sistem Linear. Urutan bilangan-bilangan s1,
s2, ….. , sn dinamakan sebuah Pemecahan Sistem tersebut
jika x1 = s1, x2 = s2, ….. xn
= sn adalah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam sistem
tersebut. Tidak semua Sistem Persamaan Linear mempunyai pemecahan. Sistem persamaan
yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tak konsisten (in consistant).
Jika ada setidaktidaknya satu pemecahan, maka Sistem Persamaan tersebut
dinamakan konsisten (consistent).
Sebuah
sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan yang tak
diketahui akan ditulis sebagai:
a11 x1 + a12 x2 + ….. + a1n
xn = b1
a21
x1 + a22 x2 + ….. + a2n xn
= b2
…
am1x1
+ am2 x2 + ….. + amn xn = bm
dimana
x1, x2, ….. xn adalah bilangan-bilangan yang
tak diketahui dan a dan b yang berindeks bawah menyatakan konstanta-konstanta.
B. Solusi
Sistem Persmaan Linear dengan Metode Jacobi
Di
dalam aljabar linear telah dibicarakan beberapa metode (cara) menyelesaikan
suatu Sistem Persamaan Linear dengan menggunakan metode langsung (direct
method). Pada makalah ini akan membahas suatu metode untuk menyelesaikan
suatu Sistem Persamaan Linear dengan cara tidak langsung yang disebut metode
iteretif. Metode iteratif dimulai dengan aproksimasi terdekat dari barisan
tersebut adalah siklus dari perhitungan-perhitungan yang diulang-ulang sampai
ketelitian yang diinginkan diperoleh. Sedangkan dalam metode iterative
banyaknya perhitungan tergantung pada ketelitian yang diinginkan.
Misalkan:
diketahui sisitem persamaan linier berikut:
tidak nol. Dari persamaan tersebut didapat:
adalah
aproksimasi-aproksimasi pertama untuk
disubtitusikan ke dalai ruas kanan persamaan. Kemudian di peroleh suatu sistem dengan aproksimasi kedua.
adalah
suatu sistem dengan aproksimasi ke-n, maka aproksimasi berikutnya diberikan
oleh formula:
bila setiap persamaan dari sistem persamaan diatas memenuhi syarat bahwa
jumlah dari nilai untuk koefisien-koefisien 
paling
besar satu atau paling sedikit satu persamaan kurang dari satu unit yaitu:
C.
Contoh
Soal Metode Lelaran Jacobi
Untuk
lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini dalam menyelesaikan sisitem
persamaan berikut dengan Metode Jacobi
Penyelesaian:
Persamaan
diatas ditulis kembali, sebagai berikut:
Dari
persamaan diatas dapat dilihat bahwa, tiap persamaan memenuhi syarat, yaitu:
, nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan diatas.
Maka diperoleh:
Maka diperoleh:
Maka diperoleh:
Apabila proses tersebut dilanjutkan terus akan diperoleh hasil
seperti pada tabel berikut:
Dengan Metode Jacobi dengan 12 iteratif diperoleh:
| Tweet |
bagaimana jika persamaan tidak memenuhi syarat < 1 diatas?? apakah persamaan tidak bisa diseleseikan dengan kesimpulan divergen atau ada cara membuatnya menjadi konvergen..terima kasih...