Metode Numerik. Solusi SPL "Determinan"

Determinan

Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristi yang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau

. Determinan matriks A ditulis sebagai

detA =

Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebaliknya, jika det (A)

0, A disebut matriks taksingular.

A. Determinan Matriks Berordo 2x2

Determinan dari matriks berordo 2x2 adalah sebagai berikut:

B. Determinan Matriks Berordo 3x3

Untuk menentukan determinan dari matriks yang berordo 3x3 dapat menggunakan 2 cara yaitu dengan cara sarrus dan cara penjumlahan dari perkalian komponen matriks 3x3 dengan kofaktornya. Pada pembahasan ini akan dijelaskan cara menentukan determinan matriks berordo 3x3 dengan menggunakan penjumlahan dari perkalian komponen matriks dengan kofaktornya.

C. Minor

Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari unsur

dan dinyatakan dengan ungkapan

. Sebagai contoh,

maka minor unsur

adalah

, yaitu

Jika minor dari

dikalikan dengan

hasilnya dinamakan kofaktor dari

dan dinyatakan dengan

. jadi,

Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace yang menyatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Secara matematis,

untuk sembarang j.

Sebagai contoh, kita akan menghitung

Untuk j =1, diperoleh

dengan

. jadi,

D. Sifat-sifat Determinan

1. Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi, detA =

2. Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.

3. Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.

4. Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.

5. Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.

6. Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.

7. Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.

8. Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.

9. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka

10. Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis,

atau

jika p = q, hasilnya sama dengan detA.

E. Invers Matriks

Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai

. Jadi, jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers

sehingga

Invers matriks memiliki sifat,

Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode reduksi baris dan metode determinan.

1. Metode reduksi baris

Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutnya, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut:

a. Menukarkan dua baris,

b. Mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan

, dan

c. Menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.

Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi

dan

Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artinya baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k.

2. Metode determinan

Sebuah matriks memiliki invers jika dan hanya jika detA =