Welcome to fauziahNH's blog

Lomba Blog Tagline Pertanian - IPB

Metode Numerik. Solusi SPL "

METODE LELARAN GAUSS-SEIDEL

Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.

A.    Prosedur Umum
1. Selesaikan secara aljabar variabel tidak diketahui masing-masing persamaan linier
2. Asumsikan suatu nilai awal pada setiap penyelesaian
3. Selesaikan masing-masing dan ulangi
4. Hitung nilai mutlak dari kesalahan perkiraan relatif setelah masing-masing itegrasi sehingga kurang dari nilai toleransi.

·         Metode Gauss-Seidel Method membolehkan pengguna untuk mengkontrol round-off  error.
·         Metode eliminasi seperti Eliminasi Gauss dan Dekomposisi LU rentan terhadap round-off  error.
·         Juga, bila bentuk dari masalah dapat dipahami dapat ditentukan nilai perkiraan awal yang lebih dekat, sehingga menghemat waktu iterasi.

B.    n persamaan dan n bilangan tak diketahui:
 
1.  Jika element diagonal tidak nol, tuliskan kembali masing-masing persamaan untuk menyelesaikan bilangan yang tak diketahui.
2.      Misal:
Persamaan ke-1, untuk menyelesaikan
Persamaan ke-2, untuk menyelesaikan, dst
 Tulis persamaan:
 Bentuk umum persamaan yaitu:
Bentuk umum untuk sembarang baris ke-i
 Hitung nilai absolut dari kesalahan relatif:

 Contoh 1:
Kecepatan dorong suatu roket untuk tiga waktu berbeda adalah:



Data kecepatan pada tabel 1 dapat didekati dengan persamaan polinomial berikut:
  
1.      Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks:
 2.      Sistem persamaan menjadi:
 3.      Perkirakan nilai awal:

 Menggunakan nilai perkiraan awal untuk menghitung
 Nilai awal:
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif
Hasil iterasi ke-1:

Nilai terbesar adalah 125.47%
Gunakan hasil dari iterasi ke-1: 


iterasi ke-2
Diperoleh nilai 

Hasil iterasi ke-2:




 Nilai terbesaradalah 85.695%
Hitung nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif pada iterasi ke-2
Hasil beberapa kali iterasi adalah sebagai berikut:
 Catatan:

Nilai kesalahan relatif tidak banyak berkurang pada setiap iterasi, termasuk pula tidak konvergen 
pada nilai sebenarnya
 Kelemahan metode gauss-seidel:

Walaupun penghitungan diakukan dengan benar hasilnya belum konvergen, tidak semua sistem
persamaan menghasilkan jawaban yang konvergen.
Sousinya, satu dari sistem persamaan selalu konvergen dimana koefisien matriks adalah dominan
diagonal, yitu jika [A] dalam [A][X]=[C] emenuhi kondisi:
 Diberikan persamaan berikut :

 Gunakan nilai perkiraan awal untuk iterasi ke-1 :
 Koefisien matriksnya adalah :
 Apakah metode Gauss – Siedel akan memberikan hasil yang konvergen ?




Cek apakah koefisien matriks dominan diagonal.
 Semua koefisien matriks tidak sama,  dan salah satu baris bernilai lebih besar.

Oleh karena itu : penyelesaian dengan metode Gauss- Siedel akan konvergen.

Tulis kembali persamaan :
Dengan nilai awal lakukan iterasi ke-1 :








Nilai absolut kesalahan relatif :







Nilai terbesar dari kesalahan relative adalah 100 %.

Hasil iterasi ke -1        


Substitusi nilai x ke perssamaan :



Hasil iterasi ke-2



Nilai absolut dari kesalahan relatif pada iterasi ke-2







Nilai terbesar dari kesalahan relatif adalah 240,61%, yaitu lebih besar dari hasil iterasi ke-1.

Apakah ini bermasalah?

Lanjutkan iterasi dan diperoleh hasil :
 Hasil akhir iterasi :

 Hasil penyelesaian eksak.

Author: fauziah nurul hakiqi
Tags:

© Welcome to fauziahNH's blog | template design by M Ridwan Al-Ayubi