Pembuktian Rumus Matematika
Pembuktian Rumus Pythagoras
1.
Luas total = luas persegi kecil + 4 . luas segitiga
(a + b)2 = c2 + 4 . ½ . ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +
2ab
a2 + b2 = c2
Apa yang bisa disimpulkan dari segitiga berikut?
Pada segitiga ini pasti bisa disimpulkan kalau
a2
+ b2 = c2
Tapi bagaimana membuktikan rumus ini ?
KL = LM = MN = NP = c
SM = TN = UK = VL = b
ST = TU = UV = VS = b – a
Luas SLM = Luas TMN = Luas UNK = Luas VKL
Luas KLMN = Luas STUV + 4 × Luas SLM
c2= (b – a)2 + 4 . ½ . ab
c2= b2 – 2ab + a2 +
2ab
c2= b2 + a2
a2+ b2 = c2
3.
Sebuah
pembuktian yang sederhana dengan menggunakan persegi dan di dalamnya terdapat
segitiga yang membangun persegi yang besar tersebut.
Kita membuat sebuah
persegi yang di dalamnya terdapat 4 buah segitiga dan sebuah persegi. Keempat
buah segitiga adalah sama kongruen dan sama besarnya. Sisi-sisi segitiga adalah
a, b, dan c, sedangkan sisi persegi kecil adalah c. Panjang sisi persegi besar
adalah a+b.
Dari persegi di atas kita bisa menurunkan rumus pythagoras :
Pembuktian Rumus Volume Kerucut
Bukti
rumus volume kerucut bisa diperoleh dengan menggunakan integral. Yaitu volume
benda putar suatu persamaan linear dengan kemiringan tak nol. Yang diputar
terhadap sumbu x atau diputar terhadap sumbu y. Lebih mudah membayangkan jika
diputar terhadap sumbu x.
Suatu persamaan linear.
Seperti pada gambar berikut:
Persamaan linear y = r/t x , seperti pada gambar memenuhi suatu koordinat (t , r). Suatu segitiga siku-siku dengan sisi tegaknya masing-masing t dan r.
Volume benda putar, persamaan linear y = r/t x yang diputar terhadap sumbu x, akan menghasilkan suatu kerucut dengan jari-jari alasnya yaitu r dan tingginya yaitu t. coba dibayangkan!
Untuk menentukan volume benda putar tersebut. Kita cari batas-batas integralnya dulu, yaitu dari 0 sampai t. jadi volume benda putar dapat dicari dengan menggunakan integral
Akhirnya terbukti bahwa rumus untuk mencari
volume kerucut adalah
Pembuktian Rumus Luas
Segitiga
Rumus Luas segitiga ini
sering dipakai, namun, kadang banyak orang tidak mengetahui bagaimana
penurunannya.
Contoh Soal:
Segitiga ABC dengan
panjang a=5 cm, dan b =6 cm. Sudut di titik C adalah 200. Maka,
tentukan luas segitiga tersebut!
Jawab:  |
Note: a, b, dan c
sesungguhnya hanya masalah simbol. Yang esensi dari rumus ini yaitu kita bisa
mencari luas segitiga jika diketahui:
*) 2 sisi segitiga, dan
*) sebuah sudut yang diapit kedua sisi tersebut.
*) 2 sisi segitiga, dan
*) sebuah sudut yang diapit kedua sisi tersebut.
Bukti
Rumus
Jika dari segitiga di atas
yang dketahui hanyalah sisi a, b, dan sudut C, maka, untuk mencari luas di atas
gunakan rumus segitiga biasa:
L = ½ . b . t
Ingat bahwa sin C = t/a (aturan sinus), maka t = a . sin C. Substitusikan ke persamaan
sebelumnya, maka diperoleh rumus seperti yang di atas.
Terbukti.
Pembuktian Rumus Luas Segitiga "L= √(s (s-a
)(s-b)(s-c))"
Kita akan buktikan bahwa
rumus luas ∆ABC jika ukuran ketiga sisinya diketahui, yaitu a, b, c adalah
L= √(s (s – a)(s – b)(s –
c))
dengan s adalah ½
keliling segitiga tersebut atau s = ½ (a + b + c)
1. Masih ingatkan rumus identitas trigonometri
sin2 A + cos2 A = 1
sin2 A = 1 – cos2 A
sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )
1. Masih ingatkan rumus identitas trigonometri
sin2 A + cos2 A = 1
sin2 A = 1 – cos2 A
sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A )
2. Kita ganti cos A dengan aturan cosinus,Yaitu:
3. kita kembali lagi ke s = ½ (a + b + c), maka :
1) (a + b + c) = 2s
2) (b + c – a) = (a + b + c) – 2a = 2s – 2a = 2 (s – a )
3) (a + b – c) = (a + b – c) – 2c = 2s – 2c = 2 (s –c )
4) (a + c – b) = (a + c – b) – 2b = 2s – 2b = 2 (s –b )
Sehingga,
4. ingat bahwa luas
segitiga adalah :
Pembuktian Soal-soal Matematika
1.
sin 2x, cos 2x, sin 3x dan cos 3x
sin 2x = sin(x + x)
sin 2x = sin x cos x + cos x sin x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos(x + x)
cos 2x = cos x cos x - sin x sin x
cos 2x = cos2 x - sin2 x
cos 2x = cos2 x - (1 - cos2 x)
cos 2x = cos2 x - 1 + cos2 x
cos 2x = 2cos2 x - 1
cos 2x = cos2 x - sin2 x
cos 2x = 1 - sin2 x - sin2 x
cos 2x = 1 - 2sin2 x
sin 3x = sin(2x + x)
sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x
sin 3x = 2 sin x cos x cos x + (1 - 2sin2 x) sin x
sin 3x = 2 sin x cos2 x + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 2 sin x (1 - sin2 x) + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 2 sin x - 2 sin3 x + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 3 sin x - 4 sin3 x
cos 3x = cos(2x + x)
cos 3x = cos 2x cos x - sin 2x sin x
cos 3x = (2cos2 x - 1) cos x - 2 sin x cos x sin x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 sin2 x cos x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 (1 - cos2 x) cos x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 cos x + 2 cos3 x
cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x
sin 2x = sin x cos x + cos x sin x
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos(x + x)
cos 2x = cos x cos x - sin x sin x
cos 2x = cos2 x - sin2 x
cos 2x = cos2 x - (1 - cos2 x)
cos 2x = cos2 x - 1 + cos2 x
cos 2x = 2cos2 x - 1
cos 2x = cos2 x - sin2 x
cos 2x = 1 - sin2 x - sin2 x
cos 2x = 1 - 2sin2 x
sin 3x = sin(2x + x)
sin 3x = sin 2x cos x + cos 2x sin x
sin 3x = 2 sin x cos x cos x + (1 - 2sin2 x) sin x
sin 3x = 2 sin x cos2 x + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 2 sin x (1 - sin2 x) + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 2 sin x - 2 sin3 x + sin x - 2sin3 x
sin 3x = 3 sin x - 4 sin3 x
cos 3x = cos(2x + x)
cos 3x = cos 2x cos x - sin 2x sin x
cos 3x = (2cos2 x - 1) cos x - 2 sin x cos x sin x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 sin2 x cos x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 (1 - cos2 x) cos x
cos 3x = 2 cos3 x - cos x - 2 cos x + 2 cos3 x
cos 3x = 4 cos3 x - 3 cos x
2.
cos 3x = 4 cos3 x – 3 cos x
Bukti:
cos 3x
= cos (2x+x)
= cos 2x cos x−sin 2x sin x
= (2 cos2 x−1)
cosx – 2 sin x cos x sinx
= 2 cos3 x – cos
x – 2 sin2 x cos x
= 2 cos3 x – cos
x – 2 (1 – cos2 x) cos
x
= 2 cos3 x – cos
x – 2 cos x + 2 cos3 x
= 4 cos3 x – 3 cos
Sumber
| Tweet |