Metode Numerik. Solusi SPL "Metode Eliminasi Gauss Dan Gauss-Jordan"
Metode Eliminasi Gauss
Dan Gauss-Jordan
Disusun
Oleh :
Fauziah Nurul Hakiqi
(1101125102)
Ismy Hartika
Niawati
(1101125038)
Diah WulanSari
(1101125016)
Pendidikan Matematika
Fakultas Keguaruan dan Ilmu
Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr.
Hamka
Jakarta
ini adalah makalah kelompok saya pada mata kuliah metode numerik
semoga bermanfaat kawan ....
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Makalah
ini dibuat untuk membantu para siswa memahami mata kuliah “Metode Numerik”. Kuliah
Metode Numerik ini diberikan sebagai salah satu Mata Kuliah Wajib yang memiliki
bobot 3 SKS (Satuan Kredit Semester). Tujuannya yang ingin didapat mata kuliah
ini adalah untuk memahami konsep dasar metode numerik.
metode
numerik adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa
sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale,
1991); metode numerik adalah teknik -teknik yang digunakan untuk merumuskan
masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang
terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan
Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya,
masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu
mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah suatu teknik
untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan
operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi
(Rochmad, 2011).
Mata
pelajaran matematika sering kali menyajikan masalah sehari-hari pada materi
dalam setiap bab yang kemudian dapat selesaikan menggunakan model matematika.
Seperti pada sub bab ”Sistem Persamaan Linear”.
Berdasarkan
latar belakang di atas penulis tertarik untuk melakuka dengan metode penyelesaian
yaitu dengan metode Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan.
1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana
cara mengerjakan soal eliminasi Gauss dan Gauss Jordan ?
1.3 Tujuan
Pembuatan
makalah ini sebagai tugas mata kuliah Metode Numerik untuk lebih memahami
metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan dan membantu pembaca lainnya yang ingin
menyelesaikan sistem persamaan linier.
Manfaat
dari makalah yang dibuat kelompok antara lain :
a. Membantu
memahami apa yang dimaksud metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
b. Membantu
mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal sistem
persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.
BAB II
KAJIAN
PUSTAKA
2.1
Sejarah Gauss Jordan
Karl
Friedich Gauss (1977-1855) adalah seorang ahli matematika dan ilmuwan dari
Jerman. Gauss yang kadang-kadang dijuluki “pangeran ahli matematika”.
Disejajarkan dengan Isaac Newton dan Archimedes sebagai salah satu dari tiga
ahli matematika yang terbesar yang pernah ada. Dalam seluruh sejarah
matematika, tidak pernah ada seorang anak yang begitu cepat berkembang,
sebagaimana Gauss, yang dengan usahanya sendiri menyelesaikan dasar aritmetika
sebelum ia dapat berbicara. Pada suatu hari, saat ia bahkan belum berusia tiga
tahun, melalui cara dramatis orang tuanya mulai menyadari kejeniusan Gauss.
Ketika itu ayahnya tengah menyiapkan gaji mingguan untuk para buruh bawahannya,
dan Gauss memperhatikan dengan diam-diam dari pojok ruangan. Setelah
perhitungan yang panjang dan membosankan. Gauss tiba-tiba member tahu ayahnya
bahwa terdapat kesalahan dalam perhitungannya dan memberikan jawaban yang
benar, yang diperoleh hanya dengan memikirkannya (tanpa menulisnya). Yang
mengherankan orang tuanya adalah setelah diperiksa ternyata perhitungannya
Gauss benar.
Dalam
desertasi doktoralnya Gauss memberikan bukti lengkap pertama teori-teori dasar
aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan polynomial memiliki solusi
sebanyak pangkatnya. Pada usia 19 tahun ia menyelesaikan masalah yang
membingungkan Euclid, menggambarkan polygon 17 sisi di dalam lingkaran dengan
menggunakan jangka dan kompas, dan pada tahun 1801, pada usia yang ke-24 tahun,
ia mempublikasikan karya terbesarnya, Disquisitiones Arithmeticae”, yang
dipandang banyak orang sebagai salah satu prestasi paling berlian dalam
matematika. Dalam makalah itu Gauss melakukan sistematisasi studi dari teori
bilangan (sifat-sifat bilangan bulat atau integer) dan merumuskan konse dasar
dari hal tersebut.
Diantara
prestasinya yang banyak sekali, Gauss menemukan kurva Gaussian atau kurva
berbentuk lonceng yang merupakan dasar teori probabilitas, memberikan
interpretasi geometric pertama mengenai bilangan kompleks dan mengembangkan
metode-metode karakteristik permukaan secara interistik dengan menggunakan
kurva-kurva yang dikandungnya, mengembangkan teori pemetaan konformal (angle
preserving) dan menemukan geometri non-Euclidean 30 tahun sebelum
dipublikasikan oleh orang lain. Dalam bidang fisika ia memberikan sumbangan
yang besar terhadap teori lensa dan gerakan kapiler, dan bersama Wilhelm Weber
ia mengerjakan pekerjaan penting dalam bidang elektromagnetisme, magnetometer
bifilar dan elektrograf.
Gauss
adalah orang yang sangat religious dan aristoratik dalam kesajaannya. Ia dengan
mudah menguasai bahasa-bahasa asing, sangat senang membaca dan meminati bidang
minarologi dan botani sebagai hobi. Ia tidak suka mengajar dan biasanya
bersikap dingin tidak mendukung terhadapahli matematika yang lainnya,
kemungkinan ini karena ia mengantisipasi kerja mereka. Dikatakan bahwa jika
saja Gauss mempublikasikan semua penemuaannya, maka matematika saat ini akan
lebih maju 50 tahun. Tak diragukan lagi bahwa ia adalah ahli matematika
terbesar dalam era modern.
Wilhelm
Jordan (1842-1899) adalah seorang insinyur Jerman yang ahli dalam bidang
geodesi. Sumbangannya untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya, Handbuch
de Vermessungskunde (Buku panduan Geodesi) pada tahun 1988.
Contoh Sumbangannya
untuk penyelesaian sistem linear dalam buku populernya
Dalam aljabar linear,
eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi
Gauus-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal
utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks
diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen
lainnya nol).
Metode
eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi
lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan
matriks koefisien sama. Motede
tersebut dinamai Eliminasi Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss
dan Whilhelm Jordan.
.
2.2
Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi
Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan
operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke
dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi
matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari
variabel-variabel tersebut.
1)
Kelebihan dan Kekurangan
Metode
ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama
eliminasi, dengan beberapa tahap
Keuntungan :
a.
menentukan apakah sistem
konsisten.
b.
menghilangkan
kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka.
c.
lebih mudah untuk memecahkan
kelemahan :
a.
memiliki
masalah akurasi saat pembulatan desimal
2.3
Eliminasi Gauss-Jordan
Salah
satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk
menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya
adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di
tahun 1887.
Metode
Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang
tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan
matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form). Selain
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini
dapat. Metode Eliminasi Gauss : metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah
variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.
Eliminasi
Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi
Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat
digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan
menggunakan matriks.
Metode
ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks. Prosedur
umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah Ubah
sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. Lakukan operasi baris elementer pada
matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A
menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.
1)
Kelebihan dan Keuntungan :
Mengubah
sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan
matriks invers.
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Sistem Persamaan Linier
Di dalam matematika, system persamaan
linier adalah kumpulan
persamaan-persamaan linier yang memiliki
variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:
Dengan
mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai
persamaan matriks
Ax = b
Yang
dalam hal ini,
Yaitu:
3.2 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara
mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih
sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks
tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah
satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya
dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan
mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi
balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Metode
ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi
Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:
Maka
solusinya dapat dihitung dengan teknik
penyulingan mundur (backward substitution):
Kondisi
sangat penting. Sebab bila , persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi
tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
sangat penting. Sebab bila , persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi
tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.
Contoh:
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Solusi
system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:
Melakukan pertukaran baris untuk
menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara pivoting yang sederhana (simple
pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot sangat dekat ke
nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen
lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul.
Ada
dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:
a.
Pivoting sebagian (partial
pivoting)
Pada
tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p
yang mempunyai nilai mutlak terbesar,
Lalu pertukarkan baris
k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh
matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi
baris kedua, carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai
baris ke-4, yang nilai mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan
baris ke-2
perhatikanlah
bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot = 0
(sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak akan pernah menjadi elemen dengan nilai
mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0.
Apabila setelah melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu
berarti system persamaan linier tidak dapat diselesaikan (singular system).
a.
Pivoting Lengkap (complete
pivoting)
Jika disamping baris,
kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian dipertukarkan,
maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai
dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan
akibatnya menambah kerumitan program secara berarti. Contoh:
a.
Tanpa tata-ancang
pivoting sebagian (Gauss naif)
b.
Dengan tata-ancang
pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)
Penyelesaian
a.
Tanpa tata-ancang
pivoting sebagian
Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot)
Jadi,
Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:
(jauh dari solusi sejati)
Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi karena 
sangat kecil bila di bandingkan dengan
, sehingga galat pembulatan yang kecil pada 
menghasilkan galat besar di
. Perhatikan juga bahwa 1.569 - 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.
sangat kecil bila di bandingkan dengan, sehingga galat pembulatan yang kecil pada menghasilkan galat besar di. Perhatikan juga bahwa 1.569 - 1.568 adalah pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena pada hasil pengurangannya.
a. Dengan tata-ancang pivoting sebagian
Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi
pivot
Dengan teknik
penyulihan mundur diperoleh:
Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan ini karena
tidak sangat kecil dibandingkan dengan
, sehingga galat pembulatan yang kecil pada 
tidak akan menghasilkan galat yang besar pada
.
3.2 Eliminasi Gauss-Jordan
Dalam aljabar linear, eliminasi
Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi
Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal
utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks
diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen
lainnya nol).
Dalam
bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:
Solusinya:
Seperti
pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak
menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.
Langkah-langkah operasi baris yang
dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan
Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:
-
Jika
suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris
itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). Jika terdapat baris
yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan
bersama pada bagian paling bawah dari matriks.
-
Jika
terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada
baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada
baris yang lebih tinggi. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat
lain.
Contoh:
x + y + 2z = 9
2x + 4y - 3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Diperoleh
penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
| Tweet |
trimaksih sangat membantu... :*
Sangat membantu. (y)
Mungkin akan lebih lengkap jika pada bagian akhir lebih banyak contoh :D
Keren membantu banget, thanks
Alhamdulillah.. terimakasih atas sarannya :)
Keren
Makasih :) Alhamdulillah membantu. Tapi, itu yg foto terakhir, yg satu matriks sebelum terakhir, di baris pertama kolom ke 4 itu sepertinya bukan 9, tapi 35/2. Mohon dikoreksi, terima kasih :)
makasih udah mulai ngerti nih
Terima kasih, sangat membantu,
sedikit saran, akan lebih baik jika dicantumkan referensi yang digunakan pada tulisan ini.
@dekadwi sama sama... kebetulan ini benar benar pekerjaan saya dan teman saya jadi tidak ada referensi yg dicantumkan. murni tugas kuliah hehe
@gina @rizkie @fadhil terimakasih semuanya semoga bermanfaat
@dekadwi sama sama... kebetulan ini benar benar pekerjaan saya dan teman saya jadi tidak ada referensi yg dicantumkan. murni tugas kuliah hehe
@gina @rizkie @fadhil terimakasih semuanya semoga bermanfaat
izin copas gan
Izin tanya nih. Kalau SPL kompleks bisa ngga dikerjain dengan cara diatas?
Terima kasih sangat membantu ka 😁